Vol Zéro-G |
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Liban 2016 - Exercice 1 - 6 points |
1.1) | |||
L'énergie mécanique d'un système en chute libre est constante. | |||
1.2) |
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On note
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On sait que | \(\displaystyle\mathrm{ Em_0 = \frac{1}{2} m \ v_0^2 + m \ g \ z_0 } \) | ||
et | \(\displaystyle\mathrm{ Em_s = \frac{1}{2} m \ v_s^2 + m \ g \ z_s } \) | ||
D'après les données | |||
\(\displaystyle\mathrm{ Em_0 = \frac{1,5 \cdot 10^5 }{2} \left[ \frac{527}{3,6} \right]^2 + 1,5 \cdot 10^5 \times 9,81 \times 7600 } \) | |||
soit | \(\displaystyle\mathrm{ Em_0 = 1,3 \cdot10^{10} \ J } \) | ||
et | |||
\(\displaystyle\mathrm{ Em_s = \frac{1,5 \cdot 10^5 }{2} \left[ \frac{355}{3,6} \right]^2 + 1,5 \cdot 10^5 \times 9,81 \times 8200 } \) | |||
soit | \(\displaystyle\mathrm{ Em_s = 1,3 \cdot10^{10} \ J } \) | ||
on constate que l'énergie mécanique de l'avion est la même au départ et au sommet de la parabole, donc il s'agit bien d'une chute libre. | |||
2.1) |
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D'après la défintion du champ de pesanteur exercé sur un corps de masse m soumis à une force de pesanteur F | \(\displaystyle\mathrm{ g(h) = \frac{F}{m} } \) | ||
D'après la loi de la gravitation de Newton | \(\displaystyle\mathrm{ F = G \frac{m \ M_T}{(R_T+h)^2} } \) | ||
donc | \(\displaystyle\mathrm{ g(h) = G \frac{M_T}{(R_T+h)^2} } \) | ||
2.2) |
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D'après ce qui précède | \(\displaystyle\mathrm{ g(z_0) = G \frac{M_T}{(R_T+z_0)^2} } \) | ||
et | \(\displaystyle\mathrm{ g(z_s) = G \frac{M_T}{(R_T+z_s)^2} } \) | ||
D'après les données | |||
\(\displaystyle\mathrm{ g(z_0) = 6,67 \times 10^{-11} \frac{6,02 \cdot 10^{24}}{(6,38 \cdot 10^6 + 7600)^2} } \) | |||
soit | \(\displaystyle\mathrm{ g(z_0) = 9,84 \ m \cdot s^{-2} } \) | ||
et | |||
\(\displaystyle\mathrm{ g(z_s) = 6,67 \times 10^{-11} \frac{6,02 \cdot 10^{24}}{(6,38 \cdot 10^6 + 8200)^2} } \) | |||
soit | \(\displaystyle\mathrm{ g(z_s) = 9,84 \ m \cdot s^{-2} } \) | ||
On constate que les deux valeurs sont identiques, c'est pourquoi il est tout-à-fait légitime de considérer que l'intensité de la pesanteur est constante lors d'un vol zéro-G. | |||
3.1) |
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D'après la deuxième loi de Newton, si un corps de quantité de mouvement p dans un référentiel galiléen est soumis à une réusltante F dans ce référentiel alors | \(\displaystyle\mathrm{ \vec{F}= \frac{ d \vec{p}}{dt} } \) | ||
3.2) |
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On note a l'accélération de l'avion dans le référentiel terrestre. | |||
D'après la deuxième loi de Newton, appliquée à l'avion, soumis à son poids P dans le référentiel terrestre galiléen | \(\displaystyle\mathrm{ \vec{P}=m \vec{a} } \) | ||
Si on projette sur l'axe horizontal alors | \(\displaystyle\mathrm{ a_x(t)= 0 } \) | ||
donc | \(\displaystyle\mathrm{ v_x(t)= v_0 \ cos α } \) | ||
et | \(\displaystyle\mathrm{ x(t)= v_0 \ t \ cos α } \) | ||
Si on projette sur l'axe vertical alors | \(\displaystyle\mathrm{ a_y(t)=-g } \) | ||
donc | \(\displaystyle\mathrm{ v_y(t)= -g \ t + v_0 \ sin α } \) | ||
et | \(\displaystyle\mathrm{ y(t)=- \frac{1}{2} g \ t^2 + v_0 \ t \ sin α } \) | ||
3.3) |
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D'après ce qui précède si y=0 alors t=0 ou | \(\displaystyle\mathrm{ t=\frac{2 \ v_0 \ sin α}{g} } \) | ||
D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ t=\frac{2 \times \frac{527}{3,6} \times sin 47°}{9,81} } \) | ||
soit | \(\displaystyle\mathrm{ t= 22 \ s } \) | ||
Ce résultat est donc cohérent avec les données. | |||
3.4) |
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D'après ce qui précède on pourrait augmenter la vitesse initiale pour augmenter la durée de vol en apesanteur mais cela paraît difficile vu la masse importante de l'avion. | |||