Carnet de méthodologie
Physique et mathématiques
Calcul vectoriel |
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| • Le produit scalaire entre deux vecteurs non-nuls \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{u} }\) et \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{v} }\)dont les directions sont séparées d'un angle θ est défini de la manière suivante :
Le résultat d'un produit scalaire peut ête positif ou négatif. |
\(\displaystyle \mathrm{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = || \overrightarrow{u}|| \times || \overrightarrow{v}|| \times cos \ θ }\) | |
| • Si les vecteurs sont portés par la même direction et ont même sens alors \(\displaystyle\mathrm{ θ=0 }\) et | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = || \overrightarrow{u}|| \times || \overrightarrow{v}|| }\) | |
| • Si les vecteurs sont orthogonaux alors \(\displaystyle\mathrm{ θ=\frac{π}{2} }\) et | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 }\) | |
| • Si les vecteurs sont portés par la même direction et de sens opposé alors \(\displaystyle\mathrm{ θ=π }\) et | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = - \ || \overrightarrow{u}|| \times || \overrightarrow{v}|| }\) | |
| • Une base, notée B, est une famille de vecteurs permettant d'exprimer de manière unique tout vecteur de l'espace par combinaison linéaire des vecteurs de la base. |
\(\displaystyle\mathrm{ B (\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}) }\)
\(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{AB} = α \ \overrightarrow{i} + β \ \overrightarrow{j} + γ \ \overrightarrow{k} }\) |
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| • Projection \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{AB} }\) sur la direction \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{i} }\) | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{i} = α }\) | |
| • Projection \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{AB} }\) sur la direction \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{j} }\) | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{j} = β }\) | |
| • Projection de \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{AB} }\) sur la direction \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{k} }\) | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{k} = γ}\) | |
| • Une base est normée si les vecteurs qui la constituent sont unitaires. | \(\displaystyle \mathrm{ ||\overrightarrow{i}||=||\overrightarrow{j}||=||\overrightarrow{k}||=1}\) | |
| • Une base est orthogonale si les vecteurs qui la constituent sont orthogonaux entre eux, et othonormée si elle est orthogonale et normée. | \(\displaystyle \mathrm{ \vec{i} · \vec{j}=\vec{i} · \vec{k}=\vec{j} · \vec{k} = 0 }\) | |
• La norme d'un vecteur est la valeur de sa longueur. Physiquement, la norme d'un vecteur est la valeur de l'intensité de la grandeur représentée. Il arrive qu'un énoncé d'exercice ne précise pas si la valeur donnée d'une grandeur vectorielle est sa projection ou sa norme. Implicitement il s'agit alors de sa norme. Contrairement à une projection qui peut être positive ou négative, une norme est toujours positive. Dans une base orthonormée, la norme d'un vecteur peut être calculée à l'aide du théorème de Pythagore. |
\(\displaystyle \mathrm{ ||\overrightarrow{AB}||= α^2 + β^2+γ^2 }\) | |
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« La philosophie est écrite dans cet immense livre qui se tient toujours ouvert devant nos yeux, je veux dire l’Univers, […] Il est écrit dans la langue mathématique et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques. »
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Logarithmes |
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| • La fonction logarithme népérien notée ln est définie comme étant la fonction primitive de la fonction \(\displaystyle\mathrm{ \frac{1}{x} }\) |
\(\displaystyle\mathrm{ ln \left( a \ b \right) = ln \ a + ln \ b}\)
\(\displaystyle\mathrm{ ln \left( \frac{a}{b} \right) = ln \ a - ln \ b}\) \(\displaystyle\mathrm{ ln \left( a^b \right) = b \ ln \ a }\) \(\displaystyle\mathrm{ ln \left(1\right)=0}\) |
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| • La fonction logarithme décimal notée log est définie comme étant la fonction telle que : | \(\displaystyle\mathrm{ log \left( x \right) = \frac{ln \ x }{ln \ 10} }\) | |
• Cette fonction est utilisée en physique lorsque les valeurs s'échelonnent sur de grandes variations d'échelle. Dans ce cas, elle permet de ne manipuler que les ordres de grandeurs. On définit ainsi |
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| l'absorbance : | \(\displaystyle\mathrm{ A = - \ log \left(\frac{Φ}{Φ_0} \right) }\) | |
| le pH : | \(\displaystyle\mathrm{ pH= - \ log \left( \frac{[H_3O^+]}{C_0} \right) }\) | |
| le niveau sonore : | \(\displaystyle\mathrm{ L = 10 \ log \left(\frac{I}{I_0} \right) }\) | |
| D'après les propriétés de la fonction logarithme on montre que |
\(\displaystyle\mathrm{ log \left( a \ b \right) = log \ a + log \ b}\)
\(\displaystyle\mathrm{ log \left( \frac{a}{b} \right) = log \ a - log \ b}\) \(\displaystyle\mathrm{ log \left( 10^b \right) = b }\) \(\displaystyle\mathrm{ log \left(1\right)=0}\) |
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Dérivées et intégrales |
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Le taux d'accroissement d'une fonction qui, à la variable x, associe la valeur y(x), s'écrit \(\displaystyle\mathrm{ \frac{Δy}{Δx} }\). Cette quantité rend compte de la variation de la fonction. En effet si l'on considére deux points M et M' de coordonnées respectives: M(x,y) et M'(x',y') alors l'accroissement s'écrit :
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\(\displaystyle \mathrm{ \frac{Δy}{Δx} = \frac{y'-y}{x'-x} }\) |
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| Principales règles de dérivation | \(\displaystyle\mathrm{(α \ u)' = α \ u'}\)
\(\displaystyle\mathrm{(u+v)' = u' + v' }\) \(\displaystyle\mathrm{\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \ v - u \ v'}{v^2} }\) \(\displaystyle\mathrm{( u^{\alpha} ) ' = α \ u' \ u^{α - 1} }\) |
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« Comment les anciens comprenaient-ils la Loi ? C’était pour eux une harmonie interne, statique pour ainsi dire et immuable ; ou bien c’était comme un modèle que la nature s’efforçait d’imiter. Une loi, pour nous, ce n’est plus cela du tout ; c’est une relation constante entre le phénomène d’aujourd’hui et celui de demain ; en un mot, c’est une équation différentielle. Voilà la forme idéale de la loi physique.»
Henri POINCARE, La valeur de la science |
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Géométrie et trigonométrie |
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« Il doit y avoir quelque science générale expliquant tout ce qu’on peut chercher touchant l’ordre et la mesure sans application à une manière particulière, et que cette science est appelée, non pas d’un nom étranger, mais d’un nom déjà ancien et reçu par l’usage, Mathématique universelle, parce qu’elle renferme tout ce pourquoi les autres sciences sont dites des parties de la Mathématique. »
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