Carnet de bac

Le grand encensoir de la cathédrale de Saint Jacques de Compostelle a une masse m=54 kg. Il est suspendu au bout d'une corde de longueur L=20,0m. Pour le mettre en mouvement, une personne donne une première vitesse horizontale v₀=1,65 m·s^-1 à l’encensoir.

On assimile l’encensoir à un pendule simple constitué d’un fil de masse nulle et de longueur L au bout duquel est fixée une masse ponctuelle m. On repère la position du pendule à l’aide de l’angle θ entre la direction du fil et la direction verticale. On prend l’origine des énergies potentielles en θ=0 tel que E_p(θ=0)=0. Pour les oscillations de petites amplitudes (θ<20°) la période d'un pendule de longueur L vaut $$\mathrm{ T=2 π \sqrt{\frac{L}{g}}}$$

où g est l’intensité de la pesanteur terrestre. On prendra g=9,81m∙s^-2.

1. Calculer les valeurs de l'énergie cinétique initiale E_c(0), de l'énergie potentielle initiale E_p(0) et l'énergie mécanique initiale E_m(0) du pendule.
2. Calculer la hauteur h à laquelle l'encensoir monte, ainsi que la période T de ses oscillations.
3. Quelle est la valeur θ₀ que prend l'angle θ lorsque l'encensoir est monté à la hauteur h ?
   
   Pour augmenter l'amplitude des oscillations de l'encensoir, on dispose un axe rectiligne rigide horizontal, orthogonal au plan d’oscillation du pendule, situé à la verticale du point d’attache du pendule à une distance L'=2 m du point d'attache du pendule.
   
4. Si on communique la même vitesse initiale à l'encensoir que précédemment, quelle est la valeur θ' de l'angle maximal entre la corde et la direction verticale ?
5. Dans la réalité, il n'y a pas d'axe rigide horizontal, en revanche, plusieurs personnes peuvent faire varier la longueur de la corde au bout de laquelle l'encensoir est suspendu en tirant dessus et en la relâchant à leur gré. Préciser à quel moment il convient de tirer sur la corde et à quel moment il convient de la relâcher afin d’augmenter rapidement l’amplitude des oscillations. Justifier.
6. Lorsque l’amplitude est maximale, l’encensoir s’élève à une hauteur a=20 m au dessus de sa position d'équilibre. Calculer la vitesse V_max de l’encensoir lorsqu’il passe au niveau du sol dans le cas où l’amplitude de ses oscillations est maximale.