Le grand encensoir de la cathédrale de Saint Jacques de Compostelle a une masse m=54 kg. Il est suspendu au bout d'une corde de longueur L=20,0m. Pour le mettre en mouvement, une personne donne une première vitesse horizontale v0=1,65 m·s-1 à l’encensoir.
On assimile l’encensoir à un pendule simple constitué d’un fil de masse nulle et de longueur L au bout duquel est fixée une masse ponctuelle m. On repère la position du pendule à l’aide de l’angle θ entre la direction du fil et la direction verticale. On prend l’origine des énergies potentielles en θ=0 tel que Ep(θ=0)=0. Pour les oscillations de petites amplitudes (θ<20°) la période d'un pendule de longueur L vaut $$\mathrm{ T=2 π \sqrt{\frac{L}{g}}}$$
où g est l’intensité de la pesanteur terrestre. On prendra g=9,81m∙s-2.
Calculer les valeurs de l'énergie cinétique initiale Ec(0), de l'énergie potentielle initiale Ep(0) et l'énergie mécanique initiale Em(0) du pendule.
Calculer la hauteur h à laquelle l'encensoir monte, ainsi que la période T de ses oscillations.
Quelle est la valeur θ0 que prend l'angle θ lorsque l'encensoir est monté à la hauteur h ?
Pour augmenter l'amplitude des oscillations de l'encensoir, on dispose un axe rectiligne rigide horizontal, orthogonal au plan d’oscillation du pendule, situé à la verticale du point d’attache du pendule à une distance L'=2 m du point d'attache du pendule.
Si on communique la même vitesse initiale à l'encensoir que précédemment, quelle est la valeur θ' de l'angle maximal entre la corde et la direction verticale ?
Dans la réalité, il n'y a pas d'axe rigide horizontal, en revanche, plusieurs personnes peuvent faire varier la longueur de la corde au bout de laquelle l'encensoir est suspendu en tirant dessus et en la relâchant à leur gré. Préciser à quel moment il convient de tirer sur la corde et à quel moment il convient de la relâcher afin d’augmenter rapidement l’amplitude des oscillations. Justifier.
Lorsque l’amplitude est maximale, l’encensoir s’élève à une hauteur a=20 m au dessus de sa position d'équilibre. Calculer la vitesse Vmax de l’encensoir lorsqu’il passe au niveau du sol dans le cas où l’amplitude de ses oscillations est maximale.
Jean Jacques Almanza Botafumerio - Santiago de Compostela