Carnet de bac

On étudie le mouvement d’ascension d’une montgolfière de volume V (on néglige ici le volume de la nacelle devant celui du ballon). Pour simplifier l'étude, on considère que la masse totale de la mongolfière est égale à la masse de l'air intérieur qu'elle contient. On ne prend pas en compte les masses de la nacelle et de la toile du ballon. On appelle M un point situé en bas de la nacelle. On mesure la position de M de coordonnée z le long d’un axe ascendant porté par la direction \(\displaystyle \mathrm{ \overrightarrow{k} }\) et dont l’origine O est liée au sol. Une corde peut être tirée depuis la nacelle pour ouvrir légèrement une trappe située au sommet.

On note :

• ρ_int la masse volumique de l’air intérieur à la montgolfière
• ρ_ext celle de l’air extérieur
• θ_int la température de l’air intérieur à la montgolfière
• θ_ext celle de l’air extérieur
• M_air la masse molaire de l’air
• p sa pression, identique à l’intérieur et à l’extérieur de la montgolfière et constante quelle que soit l’altitude

1. Exprimer ρ_ext et ρ_int en fonction des données.

2. Dans un premier temps, on considère que M est au niveau du sol sans le toucher et que sa vitesse est nulle.
   Donner l’expression de l’accélération de M d’abord en fonction des masses volumiques puis en fonction des températures.
   Donner la condition (en température) nécessaire à son élévation. Quelle manipulation permet d'obtenir cette condition ?

3. Dans un deuxième temps, la montgolfière s'élève et est soumise à une force de frottement telle que \(\displaystyle \mathrm{ \overrightarrow{f}=-α \ \overrightarrow{v} }\) où α est un coefficient de frottement et \(\displaystyle \mathrm{ \overrightarrow{v} }\) est la vitesse de M par rapport à l’axe. Montrer que l’équation du mouvement de la montgolfière s’écrit : $$ \mathrm{ \dot v + b \ v = \left(\frac{θ_{int}}{θ_{ext}}- 1 \right) \ g }$$ où on donnera l’expression de b en fonction des données de l’énoncé.

4. Montrer que la solution s’écrit : $$ \mathrm{ v = K \ e^{-bt} + \left(\frac{θ_{int}}{θ_{ext}}- 1 \right) \frac{g}{b} }$$

   On donnera l’expression de K en fonction de b et des données de l’énoncé et on en déduira l’expression de la vitesse si on considère que la montgolfière est immobile à t=0.

5. Montrer qu’il existe une vitesse limite notée v_lim et donner son expression. A quelle condition la vitesse limite est-elle nulle ? En déduire la manipulation nécessaire pour stopper l’ascension de la montgolfière.