Carnet de bac
Exercices
Ascension d'une montgolfière |
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| 1) | |||
| On note \(\displaystyle\mathrm{ n_{int} }\) la quantité d'air contenu à l'intérieur du ballon de la montgolfière. | |||
| D'après la définition de la masse molaire | \(\displaystyle\mathrm{ M_{air} = \frac{m_{int}}{n_{int}} }\) | ||
| D'après la définition de la masse volumique | \(\displaystyle\mathrm{ ρ_{int} = \frac{m_{int}}{V} }\) | ||
| D'après la loi des gaz parfaits | \(\displaystyle\mathrm{ p \ V = n_{int} \ R \ θ_{int} }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ ρ_{int} = \frac{p \ M_{air}}{R \ θ_{int}} }\) | ||
| et | \(\displaystyle\mathrm{ ρ_{ext} = \frac{p \ M_{air}}{R \ θ_{ext}} }\) | ||
2) |
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| On note \(\displaystyle\mathrm{ \vec{a} }\) l'accélération de M dans le référentiel terrestre | \(\displaystyle\mathrm{ \vec{a} = a \ \vec{k} }\) | ||
| D'après la deuxième loi de Newton appliquée à la montgolfière soumise à son poids \(\displaystyle\mathrm{ \vec{P} }\) et à la poussée d'Archimède \(\displaystyle\mathrm{ \vec{π} }\) | |||
| \(\displaystyle\mathrm{ \vec{P} + \vec{π} = m_{int} \ \vec{a} }\) | |||
| D'après la loi d'Archimède | \(\displaystyle\mathrm{ \vec{π} = m_{ext} \ g \ \vec{k} }\) | ||
| D'après la loi de la gravitation | \(\displaystyle\mathrm{ \vec{P} = - m_{int} \ g \ \vec{k} }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ m_{ext} \ g \ \vec{k} - m_{int} \ g \ \vec{k} = m_{int} \ a \ \vec{k}}\) | ||
| Si on projette sur \(\displaystyle\mathrm{ \vec{k}}\) alors | \(\displaystyle\mathrm{ (m_{ext} - m_{int} ) \ g = m_{int} \ a }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ a = \frac{m_{ext}-m_{int}}{m_{int}} \ g }\) | ||
| soit | \(\displaystyle\mathrm{ a = \left( \frac{m_{ext}}{m_{int}} -1 \right) \ g }\) | ||
| d'où | \(\displaystyle\mathrm{ a = \left( \frac{ρ_{ext}}{ρ_{int}} -1 \right) \ g }\) | ||
| soit | \(\displaystyle\mathrm{ a = \left( \frac{θ_{int}}{θ_{ext}} -1 \right) \ g }\) | ||
| Si la montgolfière s'élève alors | \(\displaystyle\mathrm{ a > 0 }\) | ||
| soit | \(\displaystyle\mathrm{ θ_{int} > θ_{ext} }\) | ||
| donc il faut chauffer l'air intérieur. | |||
3) |
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| D'après la définition de la vitesse | \(\displaystyle\mathrm{ \vec{v} = v \ \vec{k} }\) | ||
| D'après la deuxième loi de Newton appliquée à la montgolfière soumise à son poids \(\displaystyle\mathrm{ \vec{P} }\), à la poussée d'Archimède \(\displaystyle\mathrm{ \vec{π} }\) et à la force de frottement \(\displaystyle\mathrm{ \vec{f} }\) | |||
| \(\displaystyle\mathrm{ \vec{P} + \vec{π} + \vec{f}= m \ \vec{a} }\) | |||
| D'après l'énoncé | \(\displaystyle\mathrm{ \vec{f} = - α \ \vec{v} }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ m_{ext} \ g \ \vec{k} - m_{int} \ g \ \vec{k} - α \vec{k} = m_{int} \ a \ \vec{k}}\) | ||
| Si on projette sur \(\displaystyle\mathrm{ \vec{k}}\) alors | \(\displaystyle\mathrm{ (m_{ext} - m_{int} ) \ g - α \ v = m_{int} \dot{v} }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ \dot{v} + \frac{α}{m_{int}} \ v = \left( \frac{θ_{int}}{θ_{ext}} -1 \right) \ g }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ \dot{v} + \frac{α \ R \ θ_{int}}{p \ M_{air} \ V} \ v = \left( \frac{θ_{int}}{θ_{ext}} -1 \right) \ g }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ b= \frac{α \ R \ θ_{int}}{p \ M_{air} \ V}}\) | ||
4) |
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| D'après l'énoncé | \(\displaystyle\mathrm{ v = K \ e^{-bt} + \left( \frac{θ_{int}}{θ_{ext}}- 1 \right) \frac{g}{b} }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ \dot{v} = - b \ K \ e^{-bt} }\) | ||
| donc | |||
| \(\displaystyle\mathrm{ \dot{v} + b \ v = - b \ K \ e^{-bt} + b \left( K \ e^{-bt} + \left( \frac{θ_{int}}{θ_{ext}}- 1 \right) \frac{g}{b} \right) }\) | |||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ \dot{v} + b \ v = \left( \frac{θ_{int}}{θ_{ext}}- 1 \right) \ g }\) | ||
| Si t=0 alors | \(\displaystyle\mathrm{ v (0) = K + \left( \frac{θ_{int}}{θ_{ext}}- 1 \right) \frac{g}{b} }\) | ||
| D'après l'énoncé | \(\displaystyle\mathrm{ v (0) =0 }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ K =- \left( \frac{θ_{int}}{θ_{ext}}- 1 \right) \frac{g}{b} }\) | ||
| et | \(\displaystyle\mathrm{ v(t) = \left(\frac{θ_{int}}{θ_{ext}}- 1 \right) \frac{g}{b} \left(1 - e^{-bt} \right) }\) | ||
5) |
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| D'après ce qui précède si t tend vers l'infini alors | \(\displaystyle\mathrm{ v_{lim} = \left(\frac{θ_{int}}{θ_{ext}}- 1 \right) \frac{g}{b}}\) | ||
| donc la vitesse limite est nulle si la température extérieure est égale à la température intérieure. Donc pour stopper l'ascension de la montgolfière il faut chasser l'air chaud intérieur en ouvrant la trappe située au sommet du ballon. | |||
