La nouvelle façon de se poser sur Mars |
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Afrique 2014 - Exercice 2 - 6 points |
1.1) | |||
Si une force est constante alors | \(\displaystyle\mathrm{ W= \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{AB}}\) | ||
donc | \(\displaystyle\mathrm{ W= m \ g \ AB \ cosθ }\) | ||
1.2) |
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D'après la descprition du problème | \(\displaystyle\mathrm{ cosθ = \frac{z_A-z_B}{AB} }\) | ||
donc | \(\displaystyle\mathrm{ W= m \ g \ (z_A-z_B) }\) | ||
1.3) |
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D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ W= 2,0 \cdot 10^3 \times 3,7 \times (2,0 \cdot 10^3 -20) }\) | ||
donc | \(\displaystyle\mathrm{ W= 1,5 \cdot 10^7 \ J }\) | ||
Le travail est positif donc il s'agit d'un travail moteur. | |||
1.4.1) |
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Par définition de l'énergie mécanique | \(\displaystyle\mathrm{ Em_A = Ec_A+Ep_A \\ Em_B=Ec_B+Ep_B }\) | ||
soit | \(\displaystyle\mathrm{ Em_A = \frac{1}{2} \ m \ v_A^2 + m \ g \ z_A \\ Em_B = \frac{1}{2} \ m \ v_B^2 + m \ g \ z_B }\) | ||
D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ Em_A =2,0 \cdot 10^3 ( \frac{100^2 }{2} + 3,7 \times 2,0 \cdot 10^3 ) \\ Em_B = 2,0 \cdot 10^3 ( \frac{0,75^2}{2} + 3,7 \times 20 ) }\) | ||
\(\displaystyle\mathrm{ Em_A =2,5 \cdot 10^7 \ J \\ Em_B =1,5 \cdot 10^5 \ J }\) | |||
1.4.2) |
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D'après ce qui précède, la valeur de l'énergie mécanique diminue, donc des forces non-conservatives travaillent. | |||
2) |
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Si le référentiel lié à Mars est galiléen pendant la durée de la chute et si la force de propulsion compense le poids, alors d'après le principe d'inertie le mouvement de chute est rectiligne uniforme. | |||
On note
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donc | \(\displaystyle\mathrm{ v= \frac{H-ℓ-h}{Δt} }\) | ||
soit | \(\displaystyle\mathrm{ Δt= \frac{H-ℓ-h}{v} }\) | ||
D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ Δt= \frac{20-7,5-2,2}{0,75} }\) | ||
soit | \(\displaystyle\mathrm{ Δt= 14 \ s }\) | ||
3.1) |
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D'après l'énoncé, l'atmosphère est très ténue, donc on peut considérer qu'aucune force de frottement ne s'applique et qu'il s'agit d'une chute libre. | |||
3.2) |
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On note D la distance parcourue par le rover. | |||
D'après l'énoncé il faut résoudre | \(\displaystyle\mathrm{ z(D)=0 }\) | ||
D'après l'équation de la trajectoire donnée par l'énoncé | \(\displaystyle\mathrm{ - \frac{ g \ D^2}{2 \ V_0^2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2} + D+H=0 }\) | ||
donc | \(\displaystyle\mathrm{ V_0= D \ \sqrt{ \frac{g}{D+H}} }\) | ||
D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ V_0= 150 \times \sqrt{\frac{3,7}{150+50}} }\) | ||
soit | \(\displaystyle\mathrm{ V_0= 20 \ m \cdot s^{-1} }\) | ||