Carnet de bac
Annales
L'ascenseur spatial |
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| Métropole 2013 (remplacement) - Exercice 1 - 5 points |
| 1.1) | |||
| Par définition, un satellite géostationnaire reste toujours à l'aplomb d'un même point de la surface de la Terre, | |||
| donc sa vitesse vT et sa période TT dans le référentiel terrestre sont nulles et sa période TGéo dans le référentiel géocentrique vaut : | \(\displaystyle\mathrm{ v_T = 0 \ m·s^{-1}} \\ \mathrm{ T_T = 0 \ s} \\ \mathrm{ T_{Géo} = 1 \ j} \) | ||
| D'après le document 2, si l'altitude vaut 36000km alors la vitesse dans le référentiel géocentrique vaut : | \(\displaystyle\mathrm{ v_G ≈ 3,1 \ km·s^{-1}}\) | ||
1.2) |
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| D'après la deuxième loi de Kepler, un satellite balaie des aires égales pendant des durées égales. Or d'après l'énoncé, la trajectoire est circulaire donc pour balayer des aires égales pendant des durées égales il faut nécessairement que la vitesse de révolution soit uniforme. | |||
1.3) |
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| D'après la loi de Frénet, l'accélération dans la base de Frénet s'écrit : | \(\displaystyle\mathrm{\vec{a} = \frac{dv}{dt} \vec{u}_t + \frac{v^2}{R}\vec{u}_n}\) | ||
| D'après la réponse précédente, la vitesse est uniforme donc l'accélération tangentielle est nulle, donc l'accélération est normale à la trajectoire. | \(\displaystyle\mathrm{\vec{a} = \frac{v^2}{R}\vec{u}_n}\) | ||
| D'après la deuxième loi de Newton appliquée au satellite soumis à la force de gravitation exercée par la terre, exprimée dans le référentiel géocentrique galiléen : | \(\displaystyle\mathrm{ \vec{F} = m \vec{a}}\) | ||
| D'après la loi de la gravitation de Newton : | \(\displaystyle\mathrm{\vec{F} = G \frac {m M_T}{r^2}\vec{u}_n}\) | ||
| donc l'accélération est toujours orientée vers le centre de la Terre : | \(\displaystyle\mathrm{ \vec{a} = G \frac {M_T}{r^2}\vec{u}_n}\) | ||
1.4) |
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On appelle
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| D'après la définition de la vitesse moyenne | \(\displaystyle\mathrm{ v = \frac{d}{T_{Géo}} } \) | ||
| On sait que le périmètre d'un cercle s'écrit : | \(\displaystyle\mathrm{ d = 2 \ π \ (R_T + h)} \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{\boxed{v = 2\ π \ \frac{R_T + h} {T_{Géo}}}} \) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ v = 2 \ π \frac{6,4 \cdot 10^3 + 36·10^3}{24\times3600}} \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ \underline {v = 3,0 \ km·s^{-1}}} \) | ||
1.5) |
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| D'après le texte, il faut ajouter un câble au satellite pour constituer un ascenseur spatial. Si le satellite est à une altitude de 36 000 km alors sa période de révolution est égale à la période de rotation de la Terre. | |||
2.1) |
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2.2) |
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| D'après l'énoncé | \(\displaystyle\mathrm{ v_o = 2π \frac{R_T+z}{T_{Géo}}} \) | ||
| donc vo peut s'écrire sous la forme | \(\displaystyle\mathrm{ v_0 = a \ z + b } \) | ||
| avec | \(\displaystyle\mathrm{ a=\frac{2π}{T_{Géo}}} \\ b =\frac{2π}{T_{Géo}} R_T \) | ||
| D'après le document 2, vo(z) est une fonction affine, donc l'expression de vo est en accord avec le document 2. | |||
2.3) |
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On note
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| D'après la définition de la vitesse | \(\displaystyle\mathrm{\boxed{v_{asc} = \frac{h}{Δt}}} \) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ v_{asc}= \frac{36·10^6}{5\times 24 \times 3600}} \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{\underline {v_{asc} = 83 m·s^{-1}}} \) | ||
2.4) |
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| D'après l'énoncé la vitesse orbitale en h' s'écrit : | \(\displaystyle\mathrm{v_o(h') = 2π \frac{R_T+h'}{T_{Géo}}} \) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{v_o(h') = 2π \frac{6,4·10^3 +20 000}{24}} \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{v_o(h') = 6,9·10^2 km·h^{-1}} \) | ||
| d'où | \(\displaystyle\mathrm{\frac{v_{asc}}{v_o(h')} = 0,04} \) | ||
2.5.1) |
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| D'après le doc. 2 la vitesse orbitale est supérieure à la vitesse de libération si | \(\displaystyle\mathrm{h > h_{min} ≈ 47 000 km} \) | ||
2.5.2) |
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| On note vL géo la vitesse de libération à l'altitude géostationnaire. | |||
| D'après le document 2 | \(\displaystyle\mathrm{ v_{L géo} ≈ 4,5 km·s^{-1}} \) | ||
| D'après la définition de l'énergie cinétique | \(\displaystyle\mathrm{ E_c = \frac{1}{2} m {v^2}_{L géo}} \) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ E_c ≈ \frac{1}{2} \times 1,5·10^3 \times (4,5·10^3)^2} \) | ||
| d'où | \(\displaystyle \underline{\mathrm{E_c ≈ 1,52·10^{10} J}} \) | ||
| Cette énergie peut lui être communiquée par l'intermédiaire d'une propulsion maintenue pendant un certain temps. | |||
