Carnet de bac

En 1834, François Arago invite Victor Hugo à une séance d'observation à l'Observatoire de Paris. Dans le long poème en prose "le promontoire du songe" qu'il consacre à cette visite, Victor Hugo raconte être monté sur la plate forme de l'Observatoire et y avoir observé la Lune. Il dit avoir utilisé une lunette qui grossissait 400 fois et rapporte qu'Arago lui soutint qu'elle ramenait la distance entre lui et la Lune de 90000 à 225 lieues. Parmi les instruments de l'Observatoire, seuls les "objectifs de Lerebours", testés à cette époque à l'Observatoire de Paris, et dont les diamètres étaient de l'ordre de la vingtaine de centimètres, pour des distances focales de 5 à 6 m, peuvent correspondre à cette description : leur grossissement, avec des oculaires ayant un centimètre et demi de longueur focale, pouvaient atteindre la valeur 400.

On veut vérifier que l'exemple choisi par Arago est cohérent : pour le bougeoir dont il parle, on prendra une hauteur h = 17 cm et pour les tours de Notre-Dame la hauteur H = 69 m. On supposera dans tout l'exercice que les angles vérifient tan α ≈ α.

1. Le bougeoir est placé à une distance d de l'œil de l'observateur. Sur un schéma faire apparaître la distance d, le bougeoir et le diamètre apparent α sous lequel est aperçu le bougeoir. Exprimer α.

2. L'observateur se place maintenant à la même distance d d'une des tours de Notre-Dame. Exprimer le diamètre apparent α' de la tour en fonction de H et d. Vérifier que la comparaison proposée par Arago correspond bien à un grossissement voisin de 400.

3. Pourquoi Arago dit-il à Victor Hugo qu'il a fait un grand voyage ? Vérifier que les distances citées par Arago sont bien dans le rapport du grossissement G de la lunette.




On recherche les caractéristiques de la lunette utilisée par Victor Hugo. Pour cette étude, on prend la distance focale f₁ de l'objectif L₁ égale à 6,0 m et pour celle de l'oculaire L₂ la valeur f₂=1,5cm. Les figures 1 et 2 ne sont pas à l'échelle de la lunette réelle. La Lune, située à la distance D=384400km de la terre, a un diamètre moyen AB=3474km et son diamètre apparent vu de la terre a une valeur moyenne de l'ordre d'un demi degré soit α≈8,5·10^-3rad.

4. Où se forme l'image A₁B₁ de la lune donnée par l'objectif L₁ ? Construire A₁B₁ sur la figure 1. Exprimer la taille de A₁B₁ en fonction de f₁ et α puis calculer sa valeur.

5. On suppose que la lunette est afocale ce qui signifie que d'un objet à l'infini, elle donne une image définitive à l'infini. Où doit se trouver l'image intermédiaire A₁B₁ par rapport à la lentille L₂ ? En déduire la position des foyers objet et image de la lentille L₂ et les placer sur la figure 2. Construire l'image A'B' de A₁B₁ à travers la lentille L₂. Représenter sur la figure 2 le diamètre apparent α' de l'image A'B' vue à travers la lunette. L'exprimer en fonction de A₁B₁ et de f₂.

6. Exprimer le grossissement G en fonction des distances focales des deux lentilles constituant la lunette. Calculer G et conclure.