Carnet de bac
Annales
Le muon, explorateur de volcan |
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| Polynésie 2015 (remplacement) - Exercice 1 - 6 points |
| 1.1) | |||
On note
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| D'après la définition de la vitesse | \(\displaystyle\mathrm{ v=\frac{L}{Δt} } \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ Δt=\frac{L}{v} } \) | ||
| D'après les données de l'énoncé | \(\displaystyle\mathrm{ Δt=\frac{20 \cdot 10^3}{0,9994 \times 3,0 \cdot 10^8} } \) | ||
| donc | \(\displaystyle\underline{\mathrm{ Δt = 67 \cdot 10^{-6} \ s } } \) | ||
1.1.2) |
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| D'après le principe d'Einstein, la vitesse de la lumière dans le vide est inchangée par changement de référentiel galiléen. | |||
1.1.3) |
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On note
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| D'après la définition du facteur de Lorentz | \(\displaystyle\mathrm{ γ = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} } \) | ||
| D'après la loi de la dilatation des durées | \(\displaystyle\mathrm{ Δt = γ \ Δt_0 } \) | ||
| D'après l'énoncé la vitesse du muon est proche de la vitesse de la lumière donc son facteur de Lorentz dans le référentiel terrestre est grand donc sa durée de vie dans ce même référentiel est bien plus grande que dans son référentiel propre. | |||
1.2) |
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| D'après l'énoncé, la force magnétique dépend uniquement de la vitesse de la particule, de sa charge et de l'intensité du champ magnétique. Or le muon est chargé négativement donc il subit une force de même direction, de même sens et de même intensité que celle qui est appliquée à un électron pénétrant à la même vitesse dans le champ magnétique. | |||
| D'après l'énoncé, la masse du muon est bien plus faible que celle de l'électron, donc en vertu de la deuxième loi de Newton, l'accélération que subit le muon est plus forte que celle que subit l'électron et sa courbure est plus petite. | |||
2.1) |
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| D'après la loi de dilatation des durées | \(\displaystyle\mathrm{ \frac{Δt}{Δt_0} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} } \) | ||
| D'après les données de l'énoncé | \(\displaystyle\mathrm{ \frac{Δt}{Δt_0} = \frac{1}{ \sqrt{1-0,9994^2} } } \) | ||
| donc | \(\displaystyle\underline{\mathrm{ \frac{Δt}{Δt_0} = 28,9 }} \) | ||
2.2) |
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On note
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| D'après la définition de la vitesse | \(\displaystyle\mathrm{ d_0 = v \ Δt_0 \\ d= v \ Δt } \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ \frac{d}{d_0} = \frac{Δt}{Δt_0} } \) | ||
| D'après l'énoncé | \(\displaystyle\mathrm{ \frac{d}{d_0} = \frac{400}{14} } \) | ||
| donc | \(\displaystyle\underline{\mathrm{ \frac{d}{d_0} = 28,6 } } \) | ||
| donc il s'agit bien de rapports semblables. | |||
3.1) |
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| D'après la définition de l'énergie linéique e du muon cédant une énergie ΔE en traversant une longueur L (en cm) | \(\displaystyle\mathrm{ e =\frac{ΔE}{L} } \) | ||
| \(\displaystyle\mathrm{ L= \frac{ΔE}{e} } \) | |||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ L= \frac{4 \cdot 10^3}{2} } \) | ||
| donc | \(\displaystyle\underline{\mathrm{ L = 2 \cdot 10^3 \ cm } } \) | ||
| donc il suffit de 20m de roche pour que toute l'énergie du muon soit aborbée par la roche. | |||
| D'après le document donnant la carte du volcan, les dimensions de celui-ci sont bien plus grandes que 20m, donc un muon ordinaire ne peut pas être utilisé pour radiographier le volcan de la Soufrière. | |||
3.2) |
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On note
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| D'après la définition du flux Φ de N muons à travers une surface S (en cm2) et par minute | \(\displaystyle\mathrm{ Φ =\frac{N}{S} }\) | ||
| D'après le théorème de superposition de l'énergie | \(\displaystyle\mathrm{ E =N \ E_0 } \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ E = Φ \ S \ E_0 } \) | ||
| On sait que | \(\displaystyle\mathrm{ S= π \frac{D^2}{4} } \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ E = π \frac{D^2}{4} Φ \ E_0 } \) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ E = π \frac{(9,6 \cdot 10^4)^2}{4} \times 1 \times 4 } \) | ||
| donc | \(\displaystyle\underline{\mathrm{ E = 3 \cdot 10^{10} \ GeV = 5 \ J }} \) | ||
| donc cette énergie est comparable à l'énergie potentielle de pesanteur d'une masse de 1 kg à une hauteur de 50 cm. | |||
3.3) |
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| D'après l'énoncé | \(\displaystyle\mathrm{ E= γ \ m_{μ} \ c^2} \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ E = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \ m_{μ} \ c^2 } \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ \frac{v}{c} = \sqrt{1-\frac{m_{μ} \ c^2}{E} } } \) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ \frac{v}{c} = \sqrt{1-\frac{ 105,66}{4 \cdot 10^3} } } \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ \frac{v}{c} = 0,99965 } \) | ||
| donc la vitesse d'un muon ordinaire est très proche de celle de la lumière dans le vide et l'on a montré que les muons nécessaires pour une rédiographie sont encore plus énergétique donc encore plus rapide, d'où leur nom d'ultra-relativiste. | |||
