On considère un ballon gonflable de forme sphérique de masse constante m. Dans un premier temps, pour éprouver son élasticité on gonfle le ballon jusqu'à éclatement. Dans un deuxième temps, depuis une profondeur h=15m dans une eau à température θ=10°C, on remplit le ballon avec un volume V0= 1,00 L d'air ; on enferme l’air en sorte qu’il ne puisse pas s’échapper du ballon, puis on abandonne ce dernier sans vitesse initiale. En plus de son poids et de la poussée d'Archimède, le ballon est soumis à une force de frottement du type \(\displaystyle \mathrm{ \overrightarrow{f} = - \ α \ S \ \overrightarrow{v} }\) où α est un coefficient de frottement, S l'aire de la section droite du ballon en son centre et \(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{v} }\) la vitesse du ballon dans l'eau. On considère que l'air se comporte comme un gaz parfait dont on néglige le poids.
On donne :
la masse du ballon m=300 g
l'intensité de la pesanteur g=9,81 SI
la constante des gaz parfaits R=8,31 SI
la pression atmosphérique patm=1013 hPa
la masse volumique de l'eau ρ=1,025 kg·L-1
Dans le premier temps, le ballon éclate lorsque son rayon vaut Rmax=65 cm. Quel est le volume maximal Vmax que peut prendre la ballon sans éclater ?
Exprimer la quantité d'air n introduite dans le ballon si on enferne un volume V à la température θ à une profondeur z.
Quelle est la dimension physique de α ?
Le ballon est assimilé à un point matériel dont le mouvement dans l'eau est étudié selon un axe (Oz) descendant porté par la direction de vecteur unitaire \(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{k} }\) et dont l'origine O est au niveau de la surface libre.
Faire un bilan des forces appliquées au ballon à l'instant initial, puis, par application de la deuxième loi de Newton, exprimer la condition portant sur V0 pour que le ballon remonte vers la surface libre de l'eau lorsqu'il est abandonné. Est-elle vérifiée ?
On se place dans le cas où la condition précédente est vérifiée. Le ballon atteint-il la surface libre de l'eau sans éclater ?