Carnet de bac

Pour les oscillations de petites amplitudes la période d'un pendule de longueur L vaut $$\mathrm{ T=2 π \ \sqrt{\frac{L}{g}}}$$ où g est l’intensité de la pesanteur terrestre. On donne : 1 pied = 0,324839 m.

1. Exprimer g en fonction de L puis calculer sa valeur g_e à l'équateur, g_F en France et g_cp au cercle polaire. On prendra T=2s, G=6,674·10^-11SI et M_T=5,972·10²⁴kg.

2. Rappeler l'expression de la loi de la gravitation universelle et en déduire l'expression de g en fonction de M_T et R_T, la masse et le rayon de la Terre.

3. Exprimer le rayon R_T de la Terre en fonction de la longueur L du pendule et calculer sa valeur à l'équateur R_Te, en France R_TF et au cercle polaire R_Tcp.

4. Convertir les lignes en mètres à partir des données du premier tableau.

5. Exprimer le rapport \(\displaystyle \mathrm{ \frac{R_T(λ)}{R_T(λ=0)} }\), puis tracer sa valeur en fonction de la latitude λ à partir des données du deuxième tableau (issues du livre III des Principia de Newton). Que peut-on en conclure sur la forme de la Terre ?

Vers 1670, Colbert décida de dresser des cartes du royaume et l’abbé Jean Picard détermina, par triangulation et observations astronomiques méridiennes, la longueur d’un arc d’un degré sur le méridien Amiens-Paris. Picard, membre de la toute jeune Académie des Sciences, fondée en 1666, voyait aussi la nécessité d’un étalon de longueur qui remplacerait les nombreuses toises et autres pieds dont la longueur variait d’un pays à l’autre, voire d’une province à l’autre. De plus, dès les premières années de l’Académie, des esprits distingués y discutaient de sujets très divers touchant les dimensions de la Terre, supposée d’abord sphérique, de la pesanteur, de la longueur du pendule battant la seconde… D’ailleurs, dès 1672, l’académicien Jean Richer, envoyé à Cayenne pour y faire des observations astronomiques, notait que, pour battre la seconde, le pendule de son horloge devait y avoir une longueur plus courte d’environ trois millimètres qu’à Paris. Comment concilier ce fait avec la sphéricité de la Terre ? En 1687, Newton déduit de sa loi de la gravitation universelle que la Terre doit être un sphéroïde aplati aux pôles.

sous la direction de Henri Lacombe et Pierre Costabel, Gauthier-Villars, Paris, 1988.