La mécanique au service de la pétanque |
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Liban 2017 - Exercice 1 - 5 points |
1.1) | |||
D'après l'énoncé | \(\displaystyle\mathrm{ x(t) = V_0 \ t \ cosα \\ y= - \frac{1}{2} \ g \ t^2 +V_0 \ t \ sin α } \) | ||
donc | \(\displaystyle\mathrm{ t = \frac{x}{V_0 \ cosα} } \) | ||
et | \(\displaystyle\mathrm{ y= - \frac{1}{2} \ g \ t^2 + x \frac{sinα}{cosα} } \) | ||
soit | \(\displaystyle\mathrm{ y= - \frac{1}{2} \ g \ t^2 + x \ tanα } \) | ||
soit | \(\displaystyle\mathrm{ tanα = \frac{y + \frac{1}{2} g \ t^2}{x} } \) | ||
D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ tanα = \frac{0,360+0,5 \times 9,81 \times0,100^2}{0,346} } \) | ||
soit | \(\displaystyle\mathrm{ tanα = 1,18 } \) | ||
soit | \(\displaystyle\underline{\mathrm{ α =49,8° }} \) | ||
1.2) |
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D'après ce qui précède | \(\displaystyle\mathrm{ V_0 = \frac{x}{ t \ cosα } } \) | ||
D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ V_0 = \frac{0,346}{0,100 \times cos 49,8° } } \) | ||
soit | \(\displaystyle\underline{\mathrm{ V_0= 5,36 \ m \cdot s^{-1} }} \) | ||
2.1) |
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D'après ce qui précède | \(\displaystyle\mathrm{ t = \frac{x}{V_0 \ cosα} } \) | ||
donc | \(\displaystyle\mathrm{ y= - \frac{1}{2} \ g \ \left( \frac{x}{V_0 \ cosα} \right)^2 + x \frac{sinα}{cosα} } \) | ||
soit | \(\displaystyle\mathrm{ y= - \frac{1}{2} \ g \ \left( \frac{x}{V_0 \ cosα} \right)^2 + x \ tanα } \) | ||
2.2) |
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On note
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D'après ce qui précède | \(\displaystyle\mathrm{ y_{sol}= - \frac{1}{2} \ g \ \left( \frac{x}{V_0 \ cosα} \right)^2 + x_{sol} \ tanα } \) | ||
soit | \(\displaystyle\mathrm{ A \ x_{sol}^2 + B \ x_{sol} +C =0 } \) | ||
avec | \(\displaystyle\mathrm{ A=\frac{g}{2 \ \left( V_0 \ cosα \right)^2} \\ B=tan α \\ C=y_{sol} } \) | ||
D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ A=\frac{9,81}{2\times (5,36 \times cos \ 49,8°)^2} \\ B=-1,18 \\ C=-1,2 } \) | ||
donc | \(\displaystyle\mathrm{ x_{sol }=-0,79 \ ou \ x_{sol }=3,68 } \) | ||
donc | \(\displaystyle\underline{\mathrm{ x_{sol }= 3,68 \ m }} \) | ||
1) |
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D'après les expressions de l'énoncé les grandeurs qui se conservent sont la quantité de mouvement et l'énergie cinétique. | |||
2) |
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D'après l'énoncé | \(\displaystyle\mathrm{ \vec{V'}_1 = \frac{2 \ m_2}{m_1+m_2} \vec{V}_2 \ \ et \ \ \vec{V'}_2 = \frac{ m_2-m_1}{m_1+m_2} \vec{V}_2 } \) | ||
Si m1=m2 alors | \(\displaystyle\mathrm{ \vec{V'}_1 =2 \vec{V}_2 \ \ et \ \ \vec{V'}_2 = \vec{0} } \) | ||
donc les boules échangent leurs vitesses (proposition 3). | |||
Si m1> m2 alors | \(\displaystyle\mathrm{ \vec{V'}_2 \cdot \vec{V}_2 < 0 } \) | ||
donc la boule 2 repart en sens inverse (proposition 1). | |||
Si m1 < m2 alors | \(\displaystyle\mathrm{ \vec{V'}_2 \cdot \vec{V}_2 > 0 } \) | ||
donc la boule 2 suit la boule 1 (proposition 2). | |||
3) |
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Si m1>> m2 alors | \(\displaystyle\mathrm{ V'_1 \rightarrow 0 \\ \vec{V'}_2 = - \vec{V}_2 } \) | ||
donc la boule 1 ne bouge pas et la boule 2 repart en sens inverse avec la même vitesse. | |||