Carnet de bac

On considère une base cartésienne \(\displaystyle\mathrm{ B (\vec{i} ; \vec{j} ) }\) et la base de Frénet \(\displaystyle\mathrm{ B_f (\vec{u}_t ; \vec{u}_n ) }\) en un point M situé sur une portion de trajectoire circulaire de centre O. On note O l'origine d'un repère \(\displaystyle\mathrm{ R (O ; \vec{i} ; \vec{j} ) }\) ; r la distance entre O et M ; θ l'angle entre la direction \(\displaystyle\mathrm{ \vec{i} }\) et la direction de \(\displaystyle\mathrm{ \vec{OM} }\). Les coordonnées de \(\displaystyle\mathrm{ \vec{OM} }\) dans R sont respectivement x et y. Les grandeurs r, θ, x et y sont des fonctions du temps. Attention, l'angle θ est orienté : s'il augmente alors le point M doit se déplacer dans le sens de parcours de la trajectoire. Les dérivées successives de ces grandeurs par rapport au temps sont notées avec des points comme indiqué dans la suite du problème.

1. Représenter les vecteurs de la base de Frénet en un point M situé sur sa trajectoire. Reporter r et θ.
2. Exprimer \(\displaystyle\mathrm{ \vec{u}_t }\) et \(\displaystyle\mathrm{ \vec{u}_n }\) en fonction de \(\displaystyle\mathrm{ \vec{i} }\) et \(\displaystyle\mathrm{ \vec{j} }\).
3. Montrer que \(\displaystyle\mathrm{ \frac{d \vec{u}_t }{dt} = \dot{θ} \ \vec{u}_n }\) et \(\displaystyle\mathrm{ \frac{d \vec{u}_n }{dt}=- \dot{θ} \ \vec{u}_t }\).
4. Exprimer le vecteur position \(\displaystyle\mathrm{ \vec{OM} }\) de M dans le repère R en fonction des vecteurs B puis de ceux de B_f.
5. Exprimer le vecteur vitesse \(\displaystyle\mathrm{ \vec{v}_M }\) de M dans le repère R en fonction des vecteurs B puis de ceux de B_f.
6. Exprimer le vecteur accélération \(\displaystyle\mathrm{ \vec{a}_M }\) de M dans le repère R en fonction des vecteurs B puis de ceux de B_f. Dans ce dernier cas il faut montrer que \(\displaystyle\mathrm{ \vec{a}_M = (2 \ \dot{r} \ \dot{θ} + r \ \ddot{θ} ) \ \vec{u}_t + (r \ {\dot{θ}}^2 - \ddot{r} ) \ \vec{u}_n }\)

On suppose maintenant que r=R où R est une constante du temps.
7. Donner les nouvelles expressions des vecteurs vitesse et accélération en fonction de R.
8. En dédurie l'expression de la norme notée v du vecteur vitesse en fonction de r et θ.
9. Retrouver l'expression de l'accélération de M en fonction des vecteurs de la base de Frénet dans le cas d'une trajectoire circulaire.