Carnet de bac

On propulse une voiture automobile de masse m=285kg sur une route horizontale à l'aide d'un réservoir de volume V=100L contenant de l'air à température ambiante T=20,0°C et à pression p=12,0bar. Lorsqu'on ouvre le robinet du réservoir, l'air peut s'échapper par un orifice de section S=5,00cm². A l'extérieur du réservoir, l'air est à la pression atmosphérique. Le réservoir est lié à la voiture et fixé à l'arrière pour faciliter l'éjection du gaz. On considère que la voiture peut rouler sans subir aucun frottement de la part de l'air ou de la chaussée. De manière générale on notera les pressions à l'aide de la lettre p et les quantités de mouvement à l'aide de la lettre q.

On donne :

• 1 bar=10⁵Pa
• l'intensité de la pesanteur g=9,81 SI
• la masse molaire de l'air M=29,0 g·mol^-1
• la pression atmosphérique p_atm=1013 hPa
• la masse volumique de l'air ρ=1,00 kg·m^-3

1. On ouvre le robinet du réservoir pendant une durée Δt=5,00s et l'on considère que pendant toute cette durée la pression à l'intérieur du réservoir ne varie pas. La vitesse v_air d'éjection de l'air est donnée par \(\displaystyle \mathrm{ Δp=\frac{1}{2} \ ρ \ v_{air}^2 }\) où Δp est la différence de pression de l'air entre l'intérieur et l'extérieur du réservoir. Montrer que la masse d'air éjectée pendant cette durée s'écrit $$ \mathrm{ m_{air}=S \ Δt \sqrt{2 \ ρ \ Δp} }$$

2. Exprimer et calculer (dans les unités du système international) la quantité de mouvement q_air de m_air à la sortie du réservoir.

3. Par application de la deuxième loi de Newton, calculer la vitesse v de la voiture après Δt. On négligera m_air devant m.

4. On sait que l'énergie potentielle d'un volume V de gaz à pression p s'écrit Ep = p V. Exprimer l'énergie potentielle initiale du gaz Ep_gi et son énergie potentielle finale Ep_gf, sachant que le gaz n'est plus éjecté lorsque la pression de l'air dans le réservoir est égale à la pression atmosphérique.

5. Calculer la vitesse maximale v_max de la voiture à l'aide d'un raisonnement énergétique.