On considère un pendule constitué d'un fil de longueur constante L=0,75m au bout duquel est fixé un corps ponctuel de masse m=50g. L'autre extrémité est fixée à un point lié au référentiel terrestre. On note g l'intensité de la pesanteur terrestre et θ l'angle que font entre elles la direction verticale et celle du fil. On montre que la fonction θ(t) vérifie l'équation (différentielle)
$$ \mathrm{ \ddot{θ} + \frac{g}{L} \ sin θ = 0 }$$
Que devient l'équation si θ admet uniquement de petites valeurs (θ<<1) ?
Montrer que cette nouvelle équation admet pour solution \(\displaystyle \mathrm{ θ(t) = θ_0 \ cos(ω t + φ)}\). On précisera l'expression de la pulsation ω en fonction de g et L.
Quelle est la valeur de la phase à l'origine φ si \(\displaystyle \mathrm{ θ_{0}=0,10 \ rad }\) et \(\displaystyle \mathrm{ \dot{θ}(0)=0 \ rad \cdot s^{-1} }\). En déduire la valeur de \(\displaystyle \mathrm{ θ(t=1,5) }\) .
Quelle est l'expression de la période T en fonction de g et L ? Que devient la période T' si la longueur du fil est doublée ?