Carnet de bac

On utilise une lentille (L) de distance focale f inconnue dont on souhaite connaître la valeur. Pour ce faire on place un objet A, et un écran à distance D fixe suffisamment grande, mesurable et connue. On place la lentille (L) entre l’objet et l’écran de sorte que l’image de l’objet apparaisse nettement sur l’écran. On repère alors la position de la lentille sur le banc optique par O₁. On déplace la lentille jusqu’à obtenir une position différente de la précédente donnant une autre image nette sur l’écran. On repère la position de la lentille sur le banc optique par O₂. On appelle d la distance entre les deux positions successives de (L) et on note \(\displaystyle \mathrm{ p=\overline{O_1A} }\) et \(\displaystyle \mathrm{ p'=\overline{O_1A'} }\)

1. Ecrire la relation de Descartes lorsque (L) est en O₁ puis exprimer D en fonction de p et p'.

2. Montrer que p² + D p + D f =0.

3. A quelle condition portant sur D et f, existe-t-il deux solutions réelles p₁ et p₂ pour p ? Dans ce cas, exprimer p₁ et p₂ en fonction de D et f.

4. Sachant que \(\displaystyle \mathrm{ p_1=\overline{O_1A} }\) et \(\displaystyle \mathrm{ p_2=\overline{O_2A} }\), exprimer d en fonction de p₁ et p₂.

5. En déduire que \(\displaystyle \mathrm{ f=\frac{D^2-d^2}{4 \ D} }\).