Carnet de bac
Annales
Station spatiale ISS |
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| Amérique du nord 2013 - Exercice 2 - 6,5 points |
| Partie A 1) |
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| D'après la description de l'énoncé |  |
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| D'après la loi de la gravitation de Newton | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{F}_{T/S} = G \ \frac{M \ m}{(R+h)^2} \overrightarrow{u} } \) | ||
2) |
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| D'après la deuxième loi de Newton appliquée au satellite S soumis à la force de gravitation dans le référentiel géocentrique | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{F}_{T/S} = m \ \overrightarrow{a}_S } \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ G \ \frac{M \ m}{(R+h)^2} \overrightarrow{u} = m \ \overrightarrow{a}_S }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{a}_S = G \ \frac{M }{(R+h)^2} \overrightarrow{u} }\) | ||
3.1) |
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On note
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| D'après la loi de Frénet | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{a}_S = \frac{dv}{dt} \overrightarrow{u}_t + \frac{v^2}{R+h} \overrightarrow{u}_n} \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ G \ \frac{M }{(R+h)^2} \overrightarrow{u}_n = \frac{dv}{dt} \overrightarrow{u}_t + \frac{v^2}{R+h} \overrightarrow{u}_n }\) | ||
| Si on projette sur \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{u}_n }\) alors | \(\displaystyle\mathrm{ G \ \frac{M }{(R+h)^2} = \frac{v^2}{R+h} }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ v= \sqrt{\frac{G \ M }{R+h}} }\) | ||
3.2) |
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| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ v= \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \times 5,98 \cdot 10^{24} }{(6380+400) \cdot 10^3} } }\) | ||
| donc | \(\displaystyle \underline{\mathrm{ v= 7,67 \cdot 10^3 \ m \cdot s^{-1} }}\) | ||
4) |
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On note
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| D'après la définition de la vitesse | \(\displaystyle\mathrm{ v= \frac{2 \ π \ (R+h)}{T'} }\) | ||
| d'où | \(\displaystyle\mathrm{ T'= \frac{2 \ π (R+h)}{v} }\) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ T'= \frac{2 \times 3,14 \times 6780 \cdot 10^3}{7,67 \cdot 10^3} }\) | ||
| soit | \(\displaystyle \underline{\mathrm{ T'=5,55 \cdot 10^3 s }}\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ \frac{T}{T'}=\frac{24 \times 3600}{5,55 \cdot 10^3 }=15,6 }\) | ||
| donc le satellite fait 15,6 fois le tour de la Terre par jour. | |||
Partie B |
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1.1) |
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On note
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| D'après la définition de la quantité de mouvement | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{p}_f=m_f \ \overrightarrow{v}_f \\ \overrightarrow{p}_g=m_g \ \overrightarrow{v}_g}\) | ||
| D'après le théorème de superposition | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{p} = \overrightarrow{p}_g + \overrightarrow{p}_f } \) | ||
| D'après la deuxième loi de Newton appliquée à la fusée isolée dans le référentiel terrestre | \(\displaystyle\mathrm{ \frac{d\overrightarrow{p}}{dt} = \overrightarrow{0} } \) | ||
| D'après l'énoncé, le système {fusée+gaz} est initialement immobile dans le référentiel terrestre | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{p} = \overrightarrow{0} } \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ m_f \ \overrightarrow{v}_f + m_g \ \overrightarrow{v}_g = \overrightarrow{0} }\) | ||
| d'où | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{v}_f= - \frac{m_g}{m_f} \overrightarrow{v}_G }\) | ||
| donc l'éjection des gaz permet de mettre en mouvement la fusée, c'est-à-dire de la propulser vers le haut. | |||
1.2) |
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On note
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| D'après la définition du débit de gaz | \(\displaystyle\mathrm{ D= \frac{m_g}{Δt} }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ m_g= D \ Δt } \) | ||
| Si Δt=1s alors | \(\displaystyle\mathrm{ m_g= D } \) | ||
| D'après l'énoncé, | \(\displaystyle\mathrm{ D< < m_0 } \) | ||
| donc la variation de la masse de la fusée est négligeable au bout d'une seconde après le décollage vaut | \(\displaystyle\mathrm{ m_f \simeq m_0 } \) | ||
| d'où | \(\displaystyle\mathrm{ v_f= \frac{m_g}{m_0}\ v_G }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ v_f= \frac{D \ Δt}{m_0}\ v_G }\) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ v_f= \frac{2,9 \cdot 10^3 \times 1,00}{7,8 \cdot 10^5}\ 4,0 \cdot 10^3 }\) | ||
| d'où | \(\displaystyle \underline{\mathrm{ v_f= 15 \ m \cdot s^{-1} } }\) | ||
2.1) |
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| En supposant que le système est isolé on a négligé l'action du poids ; cette approximation était donc excessive. | |||
2.2.1) |
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| On sait que | \(\displaystyle\mathrm{ [D]=[M][T]^{-1} \\ [v]=[L][T]^{-1} }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ [D][v]=[M][L] [T]^{-2}}\) | ||
| donc c'est bien homogène à une force. | |||
2.2.2) |
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| Si la fusée décolle alors | \(\displaystyle\mathrm{ F>P}\) | ||
| D'après la loi de la gravitation | \(\displaystyle\mathrm{ P= m_0 \ g}\) | ||
| D'après l'énoncé | \(\displaystyle\mathrm{ F = D \ v_g}\) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ P = 7,8 \cdot 10^8 \times 9,81 \\ F=2,9 \cdot 10^3 \times 4,0 \cdot 10^3 } \) | ||
| soit | \(\displaystyle\mathrm{ P = 7,6 \cdot 10^6 \ N \\ F= 12 \cdot 10^6 \ N } \) | ||
| donc P>F et la fusée décolle | |||
