Carnet de bac
Annales
Principe de fonctionnement d'un GPS |
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| Métropole 2013 - Exercice 1 - 10 points |
| 1) | |||
| D'après l'énoncé, l'automobiliste est situé à 240 km de Lyon et 340 km de Nancy. Donc pour déterminer sa position il suffit de tracer un cercle dont le centre est à Lyon et dont le rayon vaut 240 km ; un autre cercle dont le centre est à Nancy et dont le rayon vaut 340 km. La position se trouve à l'une des deux intersections des deux cercles. D'après la carte, l'automobiliste se touve donc à Bourges.
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2.1) |
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On note
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| D'après la loi de la gravitation de Newton | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{F}_{T/S} = G \ \frac{M_T \ m}{(R_T+h)^2} \overrightarrow{u}_n } \) | ||
| D'après la deuxième loi de Newton appliquée au satellite S soumis à la force de gravitation dans le référentiel géocentrique supposée galiléen | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{F}_{T/S} = m \ \overrightarrow{a}_S } \) | ||
| D'après la loi de Frénet | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{a}_S = \frac{dv}{dt} \overrightarrow{u}_t + \frac{v^2}{R_T+h} \overrightarrow{u}} \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ G \ \frac{M_T}{(R_T+h)^2} \overrightarrow{u}_n = \frac{dv}{dt} \overrightarrow{u}_t + \frac{v^2}{R_T+h} \overrightarrow{u} }\) | ||
| Si on projette sur \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{u}_t } \) alors | \(\displaystyle\mathrm{ \frac{dv}{dt} = 0 } \) | ||
| donc le mouvement est uniforme. | |||
2.2) |
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| On note v la vitesse du satellite dans le référentiel géocentrique | |||
| Si on projette sur \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{u}_n } \) alors | \(\displaystyle\mathrm{ G \ \frac{M_T }{(R_T+h)^2} = \frac{v^2}{R_T+h} } \) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ v= \sqrt{\frac{G \ M_T }{R_T+h}} }\) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ v= \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \times 5,98 \cdot 10^{24} }{(6,38+20,0) \cdot 10^6} } }\) | ||
| donc | \(\displaystyle \underline{\mathrm{ v= 3,89 \cdot 10^3 \ m \cdot s^{-1} }}\) | ||
2.3) |
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| On note T la période de révolution du satellite | |||
| D'après la définition de la vitesse | \(\displaystyle\mathrm{ v= \frac{2 \ π \ (R_T+h)}{T} }\) | ||
| d'où | \(\displaystyle\mathrm{ T= \frac{2 \ π (R_T+h)}{v} }\) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ T= \frac{2 \times 3,14 \times 26,38 \cdot 10^6}{ 3,89 \cdot 10^3} }\) | ||
| soit | \(\displaystyle \underline{\mathrm{ T= 4,26 \cdot 10^4 s }}\) | ||
3.1) |
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On note
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| D'après la définition de la vitesse | \(\displaystyle\mathrm{ c= \frac{ℓ}{τ} }\) | ||
| d'où | \(\displaystyle\mathrm{ τ =\frac{ℓ}{c} }\) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ τ= \frac{10}{3,00 \cdot 10^8} }\) | ||
| soit | \(\displaystyle \underline{\mathrm{ τ = 33 \cdot 10^{-9} \ s }}\) | ||
| donc pour obtenir une précision de 10m sur la position, il faut une précision d'environ 30 ns sur la durée de réception su signal. | |||
3.2) |
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On note
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| D'après ce qui précède | \(\displaystyle\mathrm{ Δt= \frac{h}{c} }\) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ τ = \frac{2,00 \cdot 10^7}{3,00 \cdot 10^8} }\) | ||
| soit | \(\displaystyle \underline{\mathrm{ Δt = 66 \cdot 10^{-3} \ s }}\) | ||
| Par définition | \(\displaystyle\mathrm{ ε= \frac{τ}{Δt} }\) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ ε= \frac{33 \cdot 10^{-9}}{66 \cdot 10^{-3}} }\) | ||
| soit | \(\displaystyle\mathrm{ ε= 0,5 \cdot 10^{-6} }\) | ||
3.3) |
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| D'après le document, le décalage temporel serait de 38 μs par jour, | |||
| donc, la désynchronisation serait effective après une durée Δt' telle que | \(\displaystyle\mathrm{ Δt'=\frac{24 \times 3600 \times 10 \cdot10^{-9}}{38 \cdot 10^{-6}} }\) | ||
| soit | \(\displaystyle\mathrm{ Δt'=68 \ s }\) | ||
4.1) |
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On note
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| D'après la définition du débit | \(\displaystyle\mathrm{ D=\frac{N}{Δt''} }\) | ||
| soit | \(\displaystyle\mathrm{ Δt''=\frac{N}{D} }\) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ Δt''=\frac{4,5 \cdot 10^3 \times 8}{50} }\) | ||
| soit | \(\displaystyle\mathrm{ Δt''= 7,2 \cdot 10^2 \ s }\) | ||
| La durée de transfert le GPS est donc assez grande mais d'après le document, le GPS garde en mémoire les paramètres du calcul de position reçus avant son dernier arrêt et reprend par défaut ces paramètres, ainsi la mise à jour fréquente permet-elle de ne pas être pénalisé par cette grande durée. | |||
4.2) |
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| D'après le document, la superposition du code C/A et du message consiste simplement à inverser les 0 et les 1 du code lorsque le bit du message vaut 1 et à ne pas les modifier lorsque le bit du message vaut 0. On obtient alors le code suivant :
1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 |
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