Carnet de bac

Le rugby est un sport d’équipe qui s’est développé dans les pays anglo-saxons à la fin du XIXème siècle. Pour simplifier l’étude, les joueurs et le ballon seront supposés ponctuels.
Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

1. Le rugby, sport de contact

Il y a « plaquage » lorsqu’un joueur porteur du ballon, sur ses pieds dans le champ de jeu, est simultanément tenu par un ou plusieurs adversaires, qu'il est mis au sol et/ou que le ballon touche le sol. Ce joueur est appelé « joueur plaqué ».

D’après France Rugby.fr

Un joueur A de masse m_A = 115 kg et animé d’une vitesse v_A = 5,0 m·s^-1 est plaqué par un joueur B de masse m_B = 110 kg de vitesse négligeable.

1.1. Dans quel référentiel les vitesses sont-elles définies ?

1.2. On suppose que l’ensemble des deux joueurs est un système isolé. Exprimer, en justifiant le raisonnement, la vitesse des deux joueurs liés après l’impact puis calculer sa valeur.

2. Le rugby, sport d’évitement

Au rugby, une « chandelle » désigne un coup de pied permettant d’envoyer le ballon en hauteur par dessus la ligne de défense adverse. L'objectif pour l’auteur de cette action est d'être au point de chute pour récupérer le ballon derrière le rideau défensif.

D’après France Rugby.fr

On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le champ de pesanteur terrestre est considéré uniforme, de valeur g = 9,81 N·kg^-1. On négligera toutes les actions dues à l’air. Le joueur A est animé d’un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{v}_1}\). Afin d'éviter un plaquage, il réalise une chandelle au-dessus de son adversaire.

On définit un repère \(\displaystyle\mathrm{ (O, \ \overrightarrow{i} , \ \overrightarrow{j} ) }\) :

• origine : position initiale du ballon ;
• vecteur unitaire \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{i}}\) de même direction et de même sens que \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{v}_1}\)
• vecteur unitaire \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{j}}\) vertical et vers le haut.

2.1. Étude du mouvement du ballon

2.1.1. Établir les coordonnées a_x et a_y du vecteur accélération du point M représentant le ballon.

2.1.2. Montrer que les équations horaires du mouvement du point M sont : $$ \mathrm{ x(t) = v_0 \ t \ cos \ α \ \ et \ \ y(t)= -\frac{1}{2} \ g \ t^2 + v_0 \ t \ sin \ α }$$ 2.1.3. En déduire l’équation de la trajectoire du point M : $$ \mathrm{ y(t)= -\frac{g }{2 (v_0 \ cos \ α)^2} x^2 + x \ tan \ α }$$ 2.1.4. Le tableau de l’annexe à rendre avec la copie rassemble les représentations graphiques de l’évolution dans le temps des grandeurs x, y, v_x, et v_y, coordonnées des vecteurs position et vitesse du point M. Dans le tableau de l’annexe à rendre avec la copie, écrire sous chaque courbe l’expression de la grandeur qui lui correspond et justifier.

2.2. Une « chandelle » réussie

2.2.1. Déterminer par le calcul le temps dont dispose le joueur pour récupérer le ballon avant que celui-ci ne touche le sol. Vérifier la valeur obtenue en faisant clairement apparaître la réponse sur l’un des graphes du tableau de l’annexe à rendre avec la copie.

2.2.2. Déterminer de deux manières différentes la valeur de la vitesse v₁ du joueur pour que la chandelle soit réussie.