Carnet de bac
Annales
De Hubble à James Webb |
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| Antilles 2013 (remplacement) - Exercice 3 - 5 points |
| 1.1) | |||
| D'après la description de l'énoncé, la trajectoire du télescope spatial Hubble est circulaire. | |||
1.2) |
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| On note \(\displaystyle \mathrm{ \overrightarrow{u}_t}\) et \(\displaystyle \mathrm{ \overrightarrow{u}_n}\) les vecteurs de la base de Frénet | |||
| D'après la deuxième loi de Newton appliquée au télescope soumis à la force de gravitation dans le référentiel géocentrique supposé galiléen | \(\displaystyle \mathrm{ \overrightarrow{F}= m \overrightarrow{a}}\) | ||
| D'après la loi de la gravitation de Newton | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{F}=G \frac{m \ M_T}{\left( R_T+ h \right)^2 } \overrightarrow{u}_n}\) | ||
| D'après la loi de Frénet | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{a}=\frac{dv}{dt} \overrightarrow{u}_t + \frac{v^2}{R_T+h} \overrightarrow{u}_n }\) | ||
| donc | |||
| \(\displaystyle\mathrm{ G \frac{m \ M_T}{\left( R_T+ h \right)^2 } \overrightarrow{u}_n = m \left( \frac{dv}{dt} \overrightarrow{u}_t + \frac{v^2}{R_T+h} \overrightarrow{u}_n \right) }\) | |||
| Si on projette sur \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{u}_t }\) alors | \(\displaystyle\mathrm{ \frac{dv}{dt} = 0 }\) | ||
| donc le mouvement est uniforme. | |||
1.3) |
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| Si on projette sur \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{u}_n }\) alors | \(\displaystyle\mathrm{ G \frac{m \ M_T}{\left( R_T+ h \right)^2 } = m \frac{v^2}{R_T+h} }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ v=\sqrt{\frac{G \ M_T}{R_T+h}} }\) | ||
1.4) |
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| D'après la définition de la vitesse moyenne | \(\displaystyle\mathrm{ v = \frac{2 π (R_T+h)}{T} }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ T = \frac{2 π (R_T+h)}{v} }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ T = 2 π \sqrt{\frac{ (R_T+h)^3}{G \ M_T} } }\) | ||
1.5) |
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| On note a le demi grand-axe de la trajectoire elliptique d'une planète tournant autour d'un astre de masse M | |||
| D'après la troisième loi de Kepler | \(\displaystyle\mathrm{ \frac{T^2}{a^3} = \frac{4 \ π^2}{G \ M} }\) | ||
| donc, dans le cas du télescope spatial Hubble | \(\displaystyle\mathrm{ \frac{T^2}{(R_T+h)^3} = \frac{4 \ π^2}{G \ M_T} }\) | ||
1.6) |
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| D'après ce qui précède | \(\displaystyle\mathrm{ T = \sqrt{ \frac{4 \ π^2 \ (R_T+h)^3}{G \ M_T} } }\) | ||
| d'après les données | |||
| \(\displaystyle\mathrm{ T = \sqrt{ \frac{4 \times 3,14^2 \ (6370 \cdot 10^3+600 \cdot 10^3)^3}{6,67 \cdot 10^{-11} \times 5,97 \cdot 10^{24}} } }\) | |||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ T = 5,79 \cdot 10^3 \ s }\) | ||
| soit | \(\displaystyle \underline{\mathrm{ T = 96,6 \ min } }\) | ||
2.1.1) |
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| D'après la loi de la gravitation | \(\displaystyle\mathrm{ P=M \ g }\) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ P=780 \cdot 10^3 \times 9,8 }\) | ||
| donc | \(\displaystyle \underline{\mathrm{ P=7,6 \cdot 10^6 \ N }}\) | ||
2.1.2) |
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| D'après la loi de la deuxième loi de Newton appliquée à la fusée soumise à son poids et à la force de poussée dans le référentiel terrestre supposé galiléen | \(\displaystyle\mathrm{ \overrightarrow{F} + \overrightarrow{P}= M \overrightarrow{a} }\) | ||
| Si on projette sur la direction (Oz) alors | \(\displaystyle\mathrm{ F-P= M \ a_z }\) | ||
| donc | \(\displaystyle\mathrm{ a_z = \frac{F}{M}-g }\) | ||
2.1.3) |
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| D'après l'énoncé | \(\displaystyle\mathrm{ z(t) = \frac{1}{2} \left( \frac{F}{M}-g \right) t^2 }\) | ||
| D'après les données | \(\displaystyle\mathrm{ z(10) = \frac{1}{2} \left( \frac{14,0 \cdot 10^6}{780 \cdot 10^3}-9,8 \right) 10^2 }\) | ||
| donc | \(\displaystyle \underline{\mathrm{ z(10) = 4,1 \cdot 10^2 \ m } }\) | ||
2.1.4) |
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| Si des forces de frottement travaillent, alors leur travail est resisitant et l'altitude d'Ariane 5 est plus faible. | |||
2.2) |
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| D'après la figure, le point L2 est situé dans l'ombre de la Terre. Il devrait être protégé de certaines radiations d'origine solaire. | |||
